Teorías de la difracción de Mie y Fraunhofer

Considerando solo la parte visible del espectro electromagnético, la interacción de la luz con la materia produce cuatro fenómenos de dispersión intrínsecamente relacionados. Diferenciamos estos fenómenos por las palabras difracción, refracción, reflexión y absorción. Utilizando una definición de una frase para cada una de las anteriores, podríamos definir la difracción como la flexión de la luz por los bordes de un objeto; la refracción como los cambios que se producen cuando la luz cruza el límite entre un objeto y su medio circundante; la reflexión como el retorno de la luz desde la superficie de un objeto; y la absorción por la atenuación de la luz causada por el objeto. La figura 1 muestra los tres fenómenos de dispersión de la luz que se utilizan comúnmente en los análisis de tamaño de las partículas (se ha omitido la reflexión, ya que para casi todos los materiales finamente divididos cualquier efecto de la reflexión es insignificante).

Dispersión de una partícula esférica

Figure 1: Scattering by a spherical particle

Los casos de estos fenómenos de dispersión (aparentemente distintos) no son raros en la vida cotidiana. Por ejemplo, una imagen en un espejo se produce por el reflejo de la luz. La absorción es lo que hace que las prendas de color oscuro se sientan más calientes a la luz del sol que las de color blanco o pastel. La aparente flexión de un lápiz parcialmente sumergido en un vaso de agua ilustra un efecto de la refracción; nuestra comprensión de la refracción también nos ayuda en la construcción de las lentes correctivas. Los ejemplos de difracción son menos comunes, pero una demostración familiar en muchas clases de física se puede recrear fácilmente con un láser y una hoja de papel en la que se ha practicado un pequeño agujero. En este experimento, los bordes de la abertura "doblan" (difractan) la luz, creando un patrón regular y alternante de luz y sombra en una pared o pantalla a cierta distancia. La Figura 2 es una imagen del patrón de dispersión producido por una esfera. 

Patrón de dispersión de una partícula esférica

Figure 2: Scattering pattern by a spherical particle

Difracción de Fraunhofer

A principios del siglo XIX, Josef von Fraunhofer adelantó una descripción matemática de la difracción. A una longitud de onda dada, la teoría de Fraunhofer predice la ubicación angular de los máximos y mínimos de la dispersión en función del tamaño de un objeto.

Aunque la teoría de Fraunhofer tiene en cuenta cómo se crean estos patrones de luz y sombra, la difracción de la luz es un fenómeno producido por la interacción de la luz y un objeto que es esencialmente bidimensional, como un disco o un agujero en una hoja o tela. La interacción de la luz y un objeto tridimensional, como una partícula, da lugar a una dispersión que no es simplemente un producto de la difracción, sino que también surge de la refracción y absorción de la luz. En este sentido, la teoría de Fraunhofer es solo una aproximación a la solución completa del problema de la dispersión de la luz por cualquier objeto del "mundo real", y su aplicación en la determinación del tamaño de las partículas se limita, por lo tanto, inherentemente a los casos en que: a) el tamaño de la partícula sea grande con respecto a la longitud de onda, b) el ángulo de observación sea pequeño, y c) las partículas no sean transparentes.

Para las partículas grandes con respecto a la longitud de onda, las aproximaciones de Fraunhofer a la teoría completa de Mie son funcionalmente equivalentes. Sin embargo, a medida que el diámetro de la partícula se acerca a la longitud de onda, los efectos de la refracción y la absorción influyen cada vez más en los patrones de dispersión. La ecuación de Fraunhofer de la difracción de la luz por un objeto circular describe la intensidad relativa de la luz dispersada únicamente en términos de longitud de onda, ángulo y diámetro de la partícula (siendo este diámetro la distancia entre los bordes de un objeto). Una descripción de la interacción de la luz con un objeto tridimensional debe tener en cuenta las propiedades materiales del objeto, p. ej., su índice de refracción.

La teoría de Mie

No fue hasta que James Clerk Maxwell expuso las ecuaciones que establecían la relación fundamental entre la electricidad y el magnetismo que una completa y rigurosa teoría de la dispersión de la luz se hizo posible. Hoy en día, esta teoría se conoce comúnmente como la teoría de Mie, llamada así por el tratado de 1908 del físico Gustav Mie. La teoría predice la intensidad relativa de la luz dispersada en función del tamaño de las partículas, el ángulo de observación y la longitud de onda y la polarización del haz incidente. Esto se da siempre que la partícula sea lisa, esférica, internamente (ópticamente) homogénea, y de un índice de refracción conocido. La teoría de Mie es necesariamente inclusiva de la de Fraunhofer en el sentido de que describe, no solo los efectos de la difracción, sino que también es capaz de modelar la dispersión que resulta de la refracción, la reflexión y la absorción de la luz (fenómenos que surgen solo de la interacción de la luz y un objeto tridimensional). Volviendo a la Figura 1, ahora debería ser evidente que la dispersión de la luz por una pequeña partícula se crea no solo por difracción, sino también por refracción y absorción.

Sin embargo, aunque la teoría de Mie se ha derivado hace casi cien años, sus aplicaciones para resolver la distribución de tamaño de las partículas esféricas mediante la medición de patrones angulares de dispersión de luz láser no eran factibles debido a su complejidad matemática. Por ejemplo, a principios de los años 90, para calcular una matriz de dispersión de 100 x 100, es decir, cien detectores con cien contenedores de tamaño, se necesitó casi una hora utilizando un ordenador 386 compatible con IBM. En aquellos tiempos de insuficiente potencia de cálculo solo se podía utilizar la aproximación del Fraunhofer. Hoy en día, con la potencia de un ordenador Pentium, la misma matriz de 100 x 100 se puede calcular en una fracción de segundo y es factible el cálculo en tiempo real de la distribución del tamaño de las partículas a partir de la intensidad de dispersión medida. Por lo tanto, salvo que se desconozca el índice de refracción de la muestra, no hay razón para utilizar la aproximación de Fraunhofer en la tecnología de difracción láser. Especialmente para las partículas más pequeñas que ~25 μm, el uso de la aproximación de Fraunhofer producirá un gran e inesperado error en el tamaño recuperado de la partícula. Sin embargo, debido a la razón histórica anterior y para no confundir esta tecnología con otra tecnología de dispersión de luz estática que se aplica principalmente en la medición de peso molecular de las macromoléculas, esta tecnología todavía se la sigue llamando difracción láser en toda la industria.

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